문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 라그랑주 역학 (문단 편집) === [[일반화 좌표계]]에서 === 오일러-라그랑주 방정식을 풀 때의 핵심은 [[일반화 좌표계]](generalized coordinates)를 도입하는 것이다. 기본적으로 라그랑주 역학은 전부 일반화 좌표계에서 풀게 된다. 자유도가 [math( s )]인 일반화 좌표계에서 운동 방정식을 풀려면 그냥 다음 절차에 따르기만 하면 쉽게 풀 수 있다. || 1. 물체들의 위치 좌표들을 위에서 한 것처럼 일반화 좌표계인 [math( q_{j} )]에 대한 식으로 쓴다. 1. 위 식들의 양변을 시간으로 미분해서 속도도 일반화 좌표계로 쓴다. 1. 라그랑지언에 있는 위치와 속도에 모두 일반화 좌표계의 식을 대입한다. 1. 오일러-라그랑주 방정식에서는 문자 [math( x_{\alpha,\, i} )] 대신 [math( q_{j} )]로 바꾸고 [math( s )]개의 연립방정식을 쓴다. 1. 방정식을 푼다. || 여기서 2~5번 과정은 그냥 컴퓨터에 넣기만 하면 바로 계산이 된다. 따라서 우리가 고민해야 되는건 1번밖에 없는데, 이것조차 뉴턴 역학으로 푸는 것에 비하면 쉽다. 이런 방법으로 풀어도 되는 이유를 알아보자. 오일러-라그랑주 방정식을 처음 소개할 때, [[자유도]]가 [math( s )]인 계의 라그랑지언은 다음과 같이 물체들의 위치와 속도에 대한 함수로 나타낼 수 있었다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} L&=T(\dot{x}_{\alpha,\, i}) - U(x_{\alpha,\, i}) \\ &=L(x_{\alpha,\, i},\,\dot{x}_{\alpha,\,i}) \end{aligned} )] }}} 여기서 [math( x_{\alpha,\,i} , \dot{x}_{\alpha,\,i} )]는 [math( s )]개의 일반화 좌표계와 시간에 대한 함수로 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} x_{\alpha,\,i}&=x_{\alpha,\,i}(q_{j},\,t) \\ x_{\alpha,\,i}&=\dot{x}_{\alpha,\,i}(q_{j},\, \dot{q}_{j} ,\, t) \quad (j=1,\,2 ,\,3 ,\, \cdots ,\,s) \end{aligned} )] }}} 이를 대입하면 결국 라그랑지언도 일반화 좌표계로 위치, 속도, 시간에 대한 함수가 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle L=L(q_{j},\, \dot{q}_{j} ,\, t) \quad (j=1,\,2 ,\,3 ,\, \cdots ,\,s) )] }}} 그러면 [[해밀턴의 원리]]도 다음과 같이 일반화 좌표계로 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \delta \int L(q_{j},\, \dot{q}_{j} ,\, t)\,{\rm d}t=0 \quad (j=1,\,2 ,\,3 ,\, \cdots ,\,s) )] }}} 그런데 이것은 좌표 변환을 하기 전과 완전히 똑같은 꼴이다. 즉, 이것도 [[변분법#s-4.1|다변수 함수의 오일러 방정식]]으로 풀 수 있다. 그러면 다음과 같이 [math( s )]개의 연립 미분방정식을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial L}{\partial q_{j}}-\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \quad (j=1,\,2 ,\,3 ,\, \cdots ,\,s) )] }}} 위 식은 그냥 오일러-라그랑주 방정식에 좌표 알파벳만 바꿔 넣은 꼴이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기